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Matemática : Trigonometria

 

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Conteúdo do Módulo de Trigonometria 2: Funções Trigonométricas & Identidades


Valores de Funções Trigonométricas para Ângulos Comuns

É de grande utilidade saber os valores das funções trigonométricas para certos ângulos comuns. Os valores das funções trigonométricas para ângulos de 0, 30o, 45o, 60o e 90o são dados na tabela abaixo.

Ângulo A
0
30o
45o
60o
90o
sen A
0
1
cos A
1
0
tan A
0
1

É possível obter os valores na tabela acima para 0, 45o e 90o usando-se as definições do Módulo de Trigonometria 1.

Os valores na tabela acima podem ser facilmente lembrados usando-se o seguinte macete para memorização. Os valores de sen 0, sen 30o, sen 45o, sen 60o e sen 90o são simplesmente dados pelas raízes quadradas de 0/4, 1/4, 2/4, 3/4 e 4/4. Os valores de cos 0, cos 30o, cos 45o, cos 60o e cos 90o são dados pelas raízes quadradas de 4/4, 3/4, 2/4, 1/4 e 0/4. Obviamente, os valores da tan para qualquer ângulo são obtidos ao se dividir o valor do seno pelo valor do coseno.

Identidades Trigonométrica Importantes

Algumas importantes identidades trigonométricas relacionando funções de um ângulo (digamos, A) são dadas abaixo.

... (1)
... (2)
... (3)

Estas identidades são úteis na simplificação e solução de problemas. Suas provas são dadas abaixo.

  • Com base no triângulo retângulo na figura ao lado, sen A = a / b e cos A = c / b.
    Portanto sen2 A + cos2 A = (a2 + c2)/b2.
    Pelo Teorema de Pitágoras, a2 + c2 = b2 em um triângulo retângulo.
    Assim sen2 A + cos2 A = 1 e a equação (1) está provada.

  • Ao se dividir ambos os lados da equação (1) po cos2 A,
    obtemos tan2 A + 1 = 1 / cos2 A = sec2 A. Equação (2) está provada.

  • Ao se dividir ambos os lados da equação (1) por sen2 A,
    obtemos 1 + cot2 A = 1/sin2 A = cosec2 A. Equação (3) está provada.

Propriedade Cofunção

A propriedade cofunção é muito importante e é dada abaixo.

... (4)
... (5)
... (6)

A propriedade cofunção é fácil de se provar ao se começar com o fato de que a soma dos três ângulos de um triângulo é sempre 180o, ou seja, A + B + C = 180o. Para um triângulo retângulo, o ângulo B é 90o e A + C = 90o. Ao se usar 90o - C = A, o seguinte é imediatamente obtido:

  • sen (90o - A) = sen C = c / b = cos A
  • cos (90o - A) = cos C = a / b = sen A
  • tan (90o - A) = tan C = c / a = cot A

Muitas propriedades como tais existem em trigonometria que facilitam a resolução de problemas.

Exercícios Práticos para o Módulo de Trigonometria 2: Funções Trigonométricas & Identidades

 

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