Solução:

Todos os retângulos no tabuleiro podem ser identificados ligando-se:
2 pontos de 8 no lado superior (para formar o comprimento do retângulo) and
2 pontos de 8 no lado esquerdo (para formar a largura do retângulo).

Para entender melhor, considere o tabuleiro de xadrez 8 × 8 (veja animação acima).
Note que existem 4 possibilidades para os comprimentos dos retângulos serem 5 unidades.

A tabela a seguir mostra o número de possibilidades para diferentes comprimentos dos retângulos em um tabuleiro 7 × 7:

Length of rectangle	Number of Possibilities
7 units	1
6 units	2
5 units	3
...	...
1 unit	7

Então, o número de possibilidades para diferentes comprimentos dos retângulos = 1 + 2 + 3 + ... + 7 = 28.
Similarmente, o número de possibilidades para diferentes larguras dos retângulos = 1 + 2 + 3 + ... + 7 = 28.
Portanto,o número de retângulos = 28 × 28 = 784.

Alimento para o pensamento:

Existe uma fórmula para a soma dos primeiros n inteiros positivos ?
Seria 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n (n + 1) / 2 ?

Este problema poderia ser resolvido rapidamente com o conhecimento de permutações e combinações?
Note que ⁿC₂ é o número de combinações de n coisas tomadas 2 de cada vez.
ⁿC₂ = n (n − 1)/2. Portanto o número de retângulos = ⁸C₂ × ⁸C₂ = 28 × 28 = 784.

Você consegue resolver a seguinte fórmula alternativa para este problema?
Número de retângulos em um tabuleiro n × n
= 2 (Soma dos produtos de todos os pares de números de 1 a n) − (Número de quadrados no tabuleiro)

Então, quantos quadrados em um tabuleiro n × n? Clique aqui para descobrir.