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Quebra Cabeças e Problemas de Matemática


Retângulos em um tabuleiro de xadrez
puzzle : image for chess board

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1. Se você tivesse que construir um tabuleiro quadrado com as seguintes dimensões 6 × 6 (ou seja, um tabuleiro de xadrez 6 × 6), quantos retângulos poderiam ser encontrados no total? Você precisa incluir os quadrados também porque um quadrado é um tipo especial de retângulo.
Resposta: 441

Solução:

Todos os retângulos no tabuleiro podem ser identificados ligando-se:
2 pontos de 7 no lado superior (para formar o comprimento do retângulo) and
2 pontos de 7 no lado esquerdo (para formar a largura do retângulo).

Para entender melhor, considere o tabuleiro de xadrez 8 × 8 (veja animação acima).
Note que existem 4 possibilidades para os comprimentos dos retângulos serem 5 unidades.

A tabela a seguir mostra o número de possibilidades para diferentes comprimentos dos retângulos em um tabuleiro 6 × 6:

Length of rectangle Number of Possibilities
6 units 1
5 units 2
4 units 3
... ...
1 unit 6

Então, o número de possibilidades para diferentes comprimentos dos retângulos = 1 + 2 + 3 + ... + 6 = 21.
Similarmente, o número de possibilidades para diferentes larguras dos retângulos = 1 + 2 + 3 + ... + 6 = 21.
Portanto,o número de retângulos = 21 × 21 = 441.

Alimento para o pensamento:

Existe uma fórmula para a soma dos primeiros n inteiros positivos ?
Seria 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n (n + 1) / 2 ?

Este problema poderia ser resolvido rapidamente com o conhecimento de permutações e combinações?
Note que nC2 é o número de combinações de n coisas tomadas 2 de cada vez.
nC2 = n (n − 1)/2. Portanto o número de retângulos = 7C2 × 7C2 = 21 × 21 = 441.

Você consegue resolver a seguinte fórmula alternativa para este problema?
Número de retângulos em um tabuleiro n × n
= 2 (Soma dos produtos de todos os pares de números de 1 a n) − (Número de quadrados no tabuleiro)

Então, quantos quadrados em um tabuleiro n × n? Clique aqui para descobrir.

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