Solução:

Se 10 times participaram, então o primeiro time joga contra os outros 9 times. O segundo time já jogou contra o primeiro, e então tem que jogar somente contra os outros 8 times. Desta forma, o penúltimo time tem que jogar somente contra um time, e o último time já jogou contra todos os outros times. Portanto, o total número de partidas é

9 + 8 + ........ + 2 + 1 = 45.

Se 45 partidas foram disputadas, então 10 times participaram.

Alimento para o pensamento:

Existe uma fórmula para somar convenientemente
9 + 8 + ........ + 2 + 1 ?
De fato existe! É simplesmente 9 × 10 / 2. Você consegue demonstrar porque tal fórmula é válida? Clique aqui para saber mais.

Se n é o número de times e m é o número total de partidas, então a fórmula acima dá a seguinte relação: n (n − 1) / 2 = m. Dado m, a equação quadrática precisa ser resolvida para n.