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Quebra Cabeças e Problemas de Matemática


Enchendo o tanque

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1. Um grande tanque de água possui dois canos de entrada (um grande e um pequeno) e um cano de saída. São necessárias 1 horas para encher o tanque através do cano grande. Por outro lado, são necessárias 6 horas para encher o tanque através do cano pequeno. O cano de saída permite que o tanque seja esvaziado em 7 horas.

Que fração do tanque (inicialmente vazio) será enchida em 0.49 horas se todos os três canos estiverem operando? Use duas casas decimais na resposta (ex., 0.25, 0.5, ou 0.75).
Resposta: 0.50

Solução:

Em uma hora,

o cano grande enche 1 / 1 do tanque;
o cano pequeno enche 1 / 6 do tanque;
o cano de saída esvazia 1 / 7 do tanque; e portanto
todos os três canos juntos enchem [ (1 / 1) + (1 / 6) − (1 / 7) ] do tanque.

Fração do tanque que será enchida em 0.49 horas =

0.49 [ (1 / 1) + (1 / 6) − (1 / 7) ] = 0.50.

Solução alternativa através de equações fundamentais:

É importante notar que
Fluxo = Volume / Tempo ... equação (1)
Acúmulo = Entrada − Saída ... equação (2)

Considere V como sendo o volume total do tanque. Da equação (1),

Taxa de fluxo (cano grande) = V / 1
Taxa de fluxo (cano pequeno) = V / 6
Taxa de fluxo (cano de saída) = V / 7.

Substituindo na equação (2),

Taxa de Acúmulo no tanque = (V / 1) + (V / 6) − (V / 7).

Usando o resultado acima na equação (1),

Tempo necessário para encher o tanque completamente = V / [ (V / 1) + (V / 6) − (V / 7) ].

Note que V se cancela ao simplificarmos a expressão acima.

Fração do tanque que será enchida em 0.49 horas =

0.49 [ (1 / 1) + (1 / 6) − (1 / 7) ] = 0.50.

Alimento para o pensamento:

Podemos generalizar o problema considerando um número aleatório de canos de entrada e saída? Não é tão difícil!

Quão realista é assumir as taxas de fluxo constante? A taxa de fluxo através do cano de saída depende necessariamente do nível de água no tanque? Faz diferença se o tanque for esvaziado pela gravidade ou com o uso de uma bomba?

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